මාන විශ්ලේෂණය (Dimensional Analysis)

භෞතික විද්‍යාවේදී භාවිතාවන රාශීන් අතර සම්බන්දකම් පවතී. මූලික භෞතික රාශීන් ඇසුරෙන් අනෙක් භෞතික රාශීන් විස්තර කිරීම මාන විශ්ලේෂණයේදී සිදුකරයි. මෙහිදී මූලික රාශීන් සංකේත ඇසුරෙන් නිරූපණය කරන අතර ඒවා යොදා ගනිමින් අනෙක් රාශීන්ට මූලික රාශී, සම්බන්ධ වන ආකාරය නිරූපණය කරයි.

යම් කිසි රාශියක මාන නිරුපණය කිරීමේදී කොටු වරහන් භාවිතා කරයි.උදාහරණ ලෙස දිගෙහි මාන යන්න [දිග] ලෙස නිරූපණය කරන අතර L යන සංඛේතය භාවිතා කරයි.

වර්ගඵලයේ මාන = [වර්ගඵලය]  
පරිමාවේ මාන = [පරිමාව]  

අපට නිතර හමුවන භෞතික රාශීන් විස්තර කිරීමට දිග, ස්කන්ධය, කාලය යන මූලික රාශි 3 ප්‍රයෝජනවත් වේ. එම රාශී, ඒවායේ මාන සහ එම මාන සදහා සංකේත පහත වගුවේ දැක්වේ.


මූලික භෞතික රාශීයේ නම මාන
නිරූපණය කරන ආකාරය සංකේතය
දිග [දිග] [Length] L
ස්කන්ධය [ස්කන්ධය] [Mass] M
කාලය [කාලය] [Time] T

මූලික රාශී නොවන වෙනත් රාශීයක මාන යනු එම රාශීය මූලික මාන (මූලික රාශිවල මාන) ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කිරීම වේ.

සරලම ආකාරයේ උදාහරණයක් ලෙස පරිමිතියේ මාන සලකමු. මෙය [පරිමිතිය] ලෙස නිරූපණය කරන අතර එය අපට පහත පරිදි ලබාගත හැක.


පරිමිතියේ මාන = [පරිමිතිය]  
  = [දිග] පරිමිතිය යනු දිගක් වන බැවින් [පරිමිතිය]=[දිග] වේ.
  = L  

උදාහරණ ලෙස තවත් රාශි කිහිපයක මාන සොයන ආකාරය අධ්‍යයනය කරමු.


වර්ගඵලයේ මාන සෙවීම,

වර්ගඵලයේ මාන සෙවීම සඳහා යමක වර්ගඵලය සෙවීමට යොදාගන්නා සමීකරණයක් අවශ්‍ය වේ. මේ සඳහා සෘජුකෝනාස්‍රයක වර්ගඵලය සෙවීමට භාවිතා කරන පහත සමීකරණය යොදා ගනිමු.
වර්ගඵලය = දිග x පළල  
[වර්ගඵලය] = [දිග] x [පළල]  
  = [දිග] x [දිග] පළල යනු දිගක් වන බැවින් [පළල]=[දිග]
  = L x L  
  = L 2  

ප්‍රවේගයේ මාන සෙවීම,

ප්‍රවේගයේ මාන සෙවීම සඳහා යමක ප්‍රවේගය සෙවීමට යොදාගන්නා සමීකරණයක් අවශ්‍ය වේ. මේ සඳහා ප්‍රවේගයේ සෙවීමට භාවිතා කරන පහත සමීකරණය යොදා ගනිමු.
ප්‍රවේගය =
විස්ථාපන වෙනස
කාලය
 
[ප්‍රවේගය] =
[විස්ථාපනය]
[කාලය]
 
  =
[දිග]
[කාලය]
විස්ථාපනය යනු දිගක් වන බැවින් [විස්ථාපනය]=[දිග]
  =
L
T
 
  = LT -1  

ත්වරණයේ මාන සෙවීම,

ත්වරණයේ මාන සෙවීම සඳහා යමක ත්වරණය සෙවීමට යොදාගන්නා සමීකරණයක් අවශ්‍ය වේ. මේ සඳහා ත්වරණය සෙවීමට භාවිතා කරන පහත සමීකරණය යොදා ගනිමු.
ත්වරණය =
ප්‍රවේගය වෙනස
කාලය
 
[ත්වරණය] =
[ප්‍රවේගය]
[කාලය]
 
  =
LT -1
T
කලින් සොයාගත් පරිදි,     [ප්‍රවේගය] = LT -1
  = LT -2  

මාන භාවිතයේ ප්‍රයෝජන

සරල සමීකරන මගින් යම් ‍භෞතික රාශියක මාන සෙවීමට ඉගෙනගත් ඔබට මාන විශ්ලේෂණයේ වැටිනාකම අවබෝද කරගැනීමට නම් මාන විශ්ලේෂණයේ ප්‍රයෝජන අධ්‍යයනය කල යුතුය. මාන විශ්ලේෂණයේ ප්‍රයෝජන කිහිපයක් නම්,

  • යම් භෞතික රාශියක් මූලික භෞතික රාශි වලට සම්බන්ධ වූ ආකාරය තේරුම් ගැනීමට.
  • සමීකරණයක නිවරදිබව පරීක්ෂා කිරීමට.
  • සමීකරණයක නොදන්නා පදයක මාන සෙවීමට.
  • සමීකරණයක් ගොඩනැගීමට.

සමීකරණයක නිවරදිබව පරීක්ෂා කිරීම

වාක්‍යක් වචන හෙවත් පද වලින් තැනී ඇති පරිදිම සමීකරණද පද කිහිපයක එකතුවක්(හෝ අන්තරයක්) මගින් තැනී ඇත. වචනයක් අකුරු වලින් තැනී ඇති පරිදි සමීකරණයක පද ද භෞතික රාශි කිහිපයක ගුණිතයක්(හෝ බෙදීමක්) මගින් තැනී ඇත.

සමීකරණයක පද

සමීකරණයක් නිවරදිනම් එහි සෑම පදයකම මාන සමාන වේ. එනම් සෑම පදයකම මාන සමාන නොවේ නම් සමීකරණය වැරදි වේ. එහෙත් සමීකරණයක සෑම පදයකම මාන සමාන වූ පමණින් එය නිවරදි නොවේ

මෙම කරුණු උදාහරණ මගින් සළකා බලමු.

උදාහරණ :- පහත දැක්වෙන නිවරදි සමීකරණය සලකමු.

s = u t +
1
2
a t 2
මෙහි s = විස්ථාපනය , u = ආරම්භක ප්‍රවේගය , t = කාලය, a = ත්වරණය වේ.

පළමුව මෙම සමීකරණයේ අන්තර්ගත එක් එක් භෞතික රාශියේ මාන ඉහත පරිදි සොයමු,

[ s ] = L  
[ u ] = LT -1     u යනු ප්‍රවේගයක් වන බැවින් කලින් සෙවූ පරිදි.
[ a ] = LT -2     a යනු ත්වරණයක් වන බැවින් කලින් සෙවූ පරිදි.
[ t ] = T  

ඉන් පසු එක් එක් පදයේ මාන සොයමු.

" s " යන පදයේ මාන,

[ s ] = L

" u t " යන පදයේ මාන,

[ u t ] = [ u ] x [ t ]
  = LT -1 x T
  = L
1
2
a t 2 යන පදයේ මාන,
මෙහි 1/2 යන නියතයට මාන නැත. එම නිසා එය නොසලකයි.
[ a t 2 ] = [ a ] x [ t 2 ]
  = LT -2 x T 2
  = L
එම නිසා, [ s ] = [ u t ] = [ a t 2 ] = L,
මෙම සමීකරණය නිවරදි බැවින් එහි සෑම පදයකම මාන සමාන වේ.

උදාහරණ :   s = ut 2 වැරදි සමීකරණය සලකමු.

මෙහි s = විස්ථාපනය, u = ආරම්භක ප්‍රවේගය සහ t = කාලය වේ.

" s " යන පදයේ මාන,

[ s ] = L

" u t 2 " යන පදයේ මාන,

[u t 2] = [u] x [ t 2 ]
  = LT -1 x T 2
  = LT
මෙහි, [s] ≠ [ut 2] වේ.
පද වල මාන අසමාන නිසා මෙම සමීකරණය වැරදි සමීකරණයක් වේ.

උදාහරණ :   s = u t + a t 2 වැරදි සමීකරණය සලකමු.

මෙහි s = විස්ථාපනය,  u = ආරම්භක ප්‍රවේගය,  t = කාලය,  a = ත්වරණය වේ.

" s " යන පදයේ මාන,

[ s ] = L

" u t " යන පදයේ මාන,

[ u t ] = [ u ] x [ t ]
  = LT -1 x T
  = L

"a t 2 " යන පදයේ මාන,

[ a t 2 ] = [ a ] x [ t 2 ]
  = LT -2 x T 2
  = L
එම නිසා, [ s ] = [ u t ] = [ a t 2 ] = L,
සෑම පදයකම මාන සමාන වුවත් මෙය නිවරදි සමීකරණයක් නොවේ.

සමීකරණයක නොදන්නා කොටසක මාන සෙවීමට

නිවරදි සමීකරණයක සෑම පදයකම මාන සමාන වීම නිසා සමීකරණයක නොදන්නා කොටසක මාන සෙවිය හැක.


උදාහරණ :- එකිනෙකට d පරතරයකින් පිහිටා ඇති ස්කන්ධ m 1 සහ m 2 වන වස්තුදෙක අතර ඇතිවන ගුරුත්වාකර්ෂණ බලය F පහත සමීකරණයෙන් ලැබේ.

F =
G m 1 m 2
d 2
මෙහි G යනු සර්වත්‍ර ගුරුත්වාකර්ෂණ නියතය වේ. G හි මාන අපට පහත පරිදි සෙවිය හැක.
ඒ සඳහා පළමුව මාන නෙදන්නා පරාමිතිය(G) උක්ත කරන්න. ඉන් පසු මාන දන්නා අනෙක් පරාමිති සඳහා මාන ආදේශ කරන්න.
G =
F d 2
m 1 m 2
[ G ] =
[ F ] [ d 2 ]
[ m 1 ] [ m 2 ]
  =
M L T -2 x L 2
M x M
  = M -1 L 3 T -2

මාන විශ්ලේශණය මගින් සමීකරණයක් ගොඩනැගීම

මාන විශ්ලේශණයේ වැදගත්ම ප්‍රයෝජනය වන්නේ භෞතික රාශීන් අතර සම්බන්දතා දැක්වෙන සමීකරණ ව්‍යූත්පන්න කිරීමයි.


උදාහරණ :- තන්තුවක ප්‍රචාරණය වන තීර්්‍යක් තරංගවල ප්‍රවේගය( V ), තන්තුවේ දිග( l ), ස්කන්ධය ( m ) සහ තන්තුවේ ආතතිය ( T ) මත රදාපවතින බව පරීක්ෂනාත්මකව සොයාගෙන ඇත. මාන විශ්ලේෂණය මගින් V, l, m සහ T අතර සම්බන්දතාව දැක්වෙන ප්‍රකාශණයක් ව්‍යූත්පන්න කරන්න.


ඉහත ප්‍රකාශය අනුව,තීර්්‍යක් තරංගවල ප්‍රවේගය රඳාපවතින සාධක 3 ක් පවතී. ඒවා නම් තන්තුවේ දිග, ස්කන්ධය සහ තන්තුවේ ආතතිය වේ.

තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ දිග මත රඳාපවතීම යනු තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ දිගෙහි යම් බලයකට සමානුපාතික වන බවයි.එනම්,
V α l x      ------>    (A)

එසේම තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ ස්කන්ධය මත රඳාපවතීම යනු තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ ස්කන්ධයෙහි යම් බලයකට සමානුපාතික වන බවයි.එනම්,
V α m y      ------>    (B)

එසේම තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ ආතතිය මත රඳාපවතීම යනු තරංගවල ප්‍රවේගය තන්තුවේ ආතතියෙහි යම් බලයකට සමානුපාතික වන බවයි.එනම්,
V α T z      ------>    (C)

මෙම (A), (B) සහ (C) සමානුපාත එක්කිරීමෙන්,
V α l x . m y . T z
සමානුපාත ප්‍රකාශණයක් සමානතාවක් බවට පත් කිරීම සදහා නියතයකින් වැඩිකිරීම සිදුකරයි. එම වැඩිකරන නියතය සමානුපාත නියතය ලෙස හදුන්වයි.
V = k . l x . m y . T z
k යනු සමානුපාත නියතය වන අතර මෙහි මාන රහිත වේ.

මෙම සමිකරණයේ එක් එක් රාශියේ මාන සලකමු.

[ V ] = L T -1
[ l ] = L
[ m ] = M
[ T ] = M L T -2

එක් එක් රාශියේ මාන පහත පරිදි සමීකරණයට ආදේශ කල හැක.

L T -1 = L x . M y . ( M L T -2 ) z
L T -1 = L x + z . M y + z . T -2z
M 0 L 1 T -1 = M y + z . L x + z . T -2z

සමීකරණය වම් පස දි‍ගෙහි මාන වල පවතින බලය 1 ක් වන අතර සමීකරණය දකුණු පස දි‍ගෙහි මාන වල පවතින බලය x + z වේ. සමීකරණය දෙපස සමාන වීමට සමීකරණය දෙපස දි‍ගෙහි මාන සමාන විය යුතුය. ඒ සදහා,
1 = x + z -----> (1) සමීකරණය

මෙසේම සමීකරණය දෙපස ස්කන්ධයේ මාන සමාන වීම සදහා,
0 = y + z -----> (2) සමීකරණය

මෙසේම සමීකරණය දෙපස කාලයේ මාන සමාන වීම සදහා,
-1 = -2 z -----> (3) සමීකරණය

(1) , (2) සහ (3) සමගාමී සමීකරණය විසඳා x, y සහ z හි අගයන් සෙවිය හැක.

z = 1 / 2
x = 1 / 2
y = - 1 / 2

V=k . l x . m y . T z සමීකරණයට x,y සහ z ආදේශ කිරීමෙන්,
V=k . l 1/2 . m -1/2 . T 1/2 Velocity of String මෙහි k පරීක්ශණාත්මකව සොයාගත යුතුය.

මාන රහිත භෞතික රාශීන්ද පවතී.මාන රහිත සියලූම රාශී සදහා ඒකක නොපවතී. එවැනි රාශි කිහිපයක් නම්,
  • සාපේක්ෂ ඝනත්වය
  • සාපේක්ෂ ආර්ද්‍රතාවය
  • ඝර්ෂණ සංගුණකය

විචල්‍යයයන් තුනට වඩා පවතින සම්බන්ධතාවයක් සදහා මාන භාවිතයෙන් සමීකරණයක් ව්‍යුත්පන්න කිරීම සිදු කළ නොහැකිය.(මාන තුනක් පමණක් විශ්ලේෂණය කිරීමෙන්).
Vishwa Ranganath | admin@PhysicsLanka.com | +94 77 2078816